Analysis on Existence of Positive Solutions for a Class Second Order Semipositone Differential Equations

Bibliographic Details
Title:	Analysis on Existence of Positive Solutions for a Class Second Order Semipositone Differential Equations
Authors:	Yunhai Wang, Xu Yang
Source:	Journal of Function Spaces, Vol 2020 (2020)
Publisher Information:	Hindawi Limited, 2020.
Publication Year:	2020
Collection:	LCC:Mathematics
Subject Terms:	Mathematics, QA1-939
More Details:	In this paper, we study the existence of positive solutions of the following second-order semipositone system (see equation 1). By applying a well-known fixed-point theorem, we prove that the problem admits at least one positive solution, if f is bounded below.
Document Type:	article
File Description:	electronic resource
Language:	English
ISSN:	2314-8896 2314-8888
Relation:	https://doaj.org/toc/2314-8896; https://doaj.org/toc/2314-8888
DOI:	10.1155/2020/7210608
Access URL:	https://doaj.org/article/c7e93c497d8b43c39c2f0d35d7a89fb2
Accession Number:	edsdoj.7e93c497d8b43c39c2f0d35d7a89fb2
Database:	Directory of Open Access Journals
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FullText	Links: – Type: pdflink Url: https://content.ebscohost.com/cds/retrieve?content=AQICAHjPtM4BHU3ZchRwgzYmadcigk49r9CVlbU7V5F6lgH7WwF2_Mjf7GYdEteVyitSz7MDAAAA4jCB3wYJKoZIhvcNAQcGoIHRMIHOAgEAMIHIBgkqhkiG9w0BBwEwHgYJYIZIAWUDBAEuMBEEDEULqqu8Djklas9UNwIBEICBmrjcClAjIw9bZJsBFv395twsQ1AFbyMyDOaPf2ydZe0UAZur5dITQ46qHpXWMmRnp51mLom_822A9G2dZMu141wxgsj_uQlbVHDgc8l-ZLFD2myni8zBpwxgx_KDrypsdZSx8sQUDlA0ecrZ9q8YSU88Qewyq-6lomkWY-zL_wA8zWWVDzjg7_qOwUt32vvNx2iEf7ebteGFNkQ= Text: Availability: 1 Value: <anid>AN0145130973;[gzmx]14aug.20;2020Aug17.02:47;v2.2.500</anid> <title id="AN0145130973-1">Analysis on Existence of Positive Solutions for a Class Second Order Semipositone Differential Equations </title> <sbt id="AN0145130973-2">1. Introduction</sbt> <p>In this paper, we study the existence of positive solutions of the following second-order semipositone system − u ″ + ρ u = ϕ u + f t , u , ϕ , t ∈ 0 , 1 , − ϕ ″ = μ u , t ∈ 0 , 1 , u 0 = u 1 = ϕ 0 = ϕ 1 = 0. . By applying a well-known fixed-point theorem, we prove that the problem admits at least one positive solution, if f is bounded below.</p> <p>This paper is focused on the existence of positive solutions of a second-order semipositone system</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="EEq1"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(1)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is a positive constant and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> satisfies the following assumption: <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8477;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8477;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is continuous, and</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq1"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(2)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8477;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8477;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is continuous and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8802;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> on [0,1].</p> <p>The second-order elliptic systems</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq2"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(3)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#916;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#916;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>have a strong physical meaning in quantum mechanics models [[<reflink idref="bib1" id="ref1">1</reflink>]], in semiconductor theory [[<reflink idref="bib3" id="ref2">3</reflink>]], or in a time- and space-dependent mathematical model of nuclear reactors in a closed container [[<reflink idref="bib4" id="ref3">4</reflink>]]. To the best of our knowledge, existence and multiplicity of nontrivial solutions of BVP(<reflink idref="bib1" id="ref4">1</reflink>) have been widely studied by using the variational method [[<reflink idref="bib5" id="ref5">5</reflink>]], bifurcation techniques [[<reflink idref="bib6" id="ref6">6</reflink>]], or fixed-point theorems [[<reflink idref="bib8" id="ref7">8</reflink>]–[<reflink idref="bib11" id="ref8">11</reflink>]]. In general, in order to ensure the positivity of the solutions of Equation (<reflink idref="bib1" id="ref9">1</reflink>), one of the crucial assumptions is that the nonlinearity <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is nonnegative. Of course, the natural question is whether Equation (<reflink idref="bib1" id="ref10">1</reflink>) has a positive solution or not if <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> satisfies the assumption <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <p>On the other hand, many authors have been interested in finding the relations between the positivity of solutions and the changing sign of the nonlinearity in order to prove the existence of the positive solutions. We refer the readers to [[<reflink idref="bib12" id="ref11">12</reflink>]–[<reflink idref="bib16" id="ref12">16</reflink>]] and the references.</p> <p>Inspired by these references, the purpose of this paper is to find some new conditions, which are used to study the existence and multiplicity of positive solutions of the semipositone Equation (<reflink idref="bib1" id="ref13">1</reflink>). The main tool is the following well-known fixed-point theorem.</p> <hd id="AN0145130973-3">Lemma 1 [17].</hd> <p>Let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> be a Banach space and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> be a cone in <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Assume <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are open bounded subsets of <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8800;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8834;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> be a completely continuous operator such that</p> <p></p> <ulist> <item> (a) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and</item> <p></p> <item> (b) there exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;\&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that</item> </ulist> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq3"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(4)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8800;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Then, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> has a fixed point in <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;\&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . The same conclusion remains valid if (a) holds on <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and (b) holds on <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <p>The paper is organized as follows: in Section 2, we give some preliminaries, which are about the properties of the Green functions, the notations of some sets, etc.; in Section 3, we give the main results and the corresponding proof. In Section 4, some examples are given to illustrate the main results.</p> <hd id="AN0145130973-4">2. Preliminary</hd> <p>Let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> be the Green function of linear boundary value problem</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq4"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(5)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#960;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <hd id="AN0145130973-5">Lemma 2 [18].</hd> <p>Let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="\|" close="\|"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , then <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> can be expressed by</p> <p></p> <ulist> <item> (i) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;if&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> <p></p> <item> (ii) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;if&lt;/mtext&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> <p></p> <item> (iii) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;if&lt;/mtext&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#960;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</item> </ulist> <hd id="AN0145130973-6">Lemma 3 [18].</hd> <p>The function <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> has the following properties:</p> <p></p> <ulist> <item> (i) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8704;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> <p></p> <item> (ii) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8704;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> <p></p> <item> (iii) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8704;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> </ulist> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , if <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> ; <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , if <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> ; and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , if <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#960;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <hd id="AN0145130973-7">Lemma 4.</hd> <p>For the function <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , there exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq5"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(6)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <hd id="AN0145130973-8">Proof.</hd> <p></p> <ulist> <item> (i) For <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</item> </ulist> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq6"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(7)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;w&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cosh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cosh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Let</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq7"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(8)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cosh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cosh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Since <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is positive and continuous on [0,1] and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq8"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(9)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>In the similar way, we also have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq9"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(10)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Choosing <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Then, for any <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq10"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(11)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;w&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cosh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cosh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;w&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cosh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cosh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;w&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Since <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , then for any <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq11"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(12)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Therefore, there exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq12"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(13)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p></p> <ulist> <item> (ii) For <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , it is obvious that</item> <p></p> <item> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq13"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(14)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </item> <p></p> <item> (iii) For <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#960;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</item> <p></p> <item> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq14"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(15)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;w&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cos&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cos&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </item> </ulist> <p>Using the similar discussion of Case (i), it follows that there exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq15"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(16)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>For convenience, let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denote the Green function for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Then, Equation (<reflink idref="bib1" id="ref14">1</reflink>) can be rewritten as</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="EEq17"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(17)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Furthermore, let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the unique solution of the linear boundary value problem</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq16"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(18)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Then, we rewrite (<reflink idref="bib17" id="ref15">17</reflink>) as</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq17"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(19)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>where</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq18"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(20)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>From the above discussion, then we have the following lemma.</p> <hd id="AN0145130973-9">Lemma 5.</hd> <p>Assume that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> holds. Then, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is a positive solution of (<reflink idref="bib1" id="ref16">1</reflink>) if only if <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is a positive solution of the following problem:</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq19"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(21)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Here, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the Heaviside function of a single real variable:</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq20"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(22)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denote the Banach space <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> with the norm <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="\|" close="\|"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <p>Define a cone <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8834;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> by</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq21"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(23)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mtext&gt;: &lt;/mtext&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Define an operator <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> by</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq22"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(24)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <hd id="AN0145130973-10">Lemma 6.</hd> <p>Assume that (<emph>F</emph><subs>0</subs>) holds. Then, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8838;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is completely continuous.</p> <hd id="AN0145130973-11">Proof.</hd> <p>For any <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , from Lemma 3, it follows that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq23"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(25)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>which implies that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8838;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <p>Now, we show that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is completely continuous.</p> <p>First, we show that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> maps the bounded set into itself. Since <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are continuous, for any given <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , let</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq24"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(26)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mtext&gt;: &lt;/mtext&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Then, for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq25"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(27)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="\|" close="\|"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="\|" close="\|"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>which implies that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is uniformly bounded.</p> <p>Second, for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq26"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(28)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="\|" close="\|"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="\|" close="\|"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="\|" close="\|"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;~&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mfenced open="\|" close="\|"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>which implies that the operator <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is equicontinuous.</p> <p>Thus, by applying the Arzela-Ascoli theorem [[<reflink idref="bib17" id="ref17">17</reflink>]], we obtain that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is relatively compact, namely, the operator <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is compact.</p> <p>Finally, we claim that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is continuous. Assume that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8834;&lt;/mo&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> which converges to <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> uniformly on [0,1]. By Lebesgue's dominated convergence theorem and letting <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq27"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(29)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;as&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>So, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is continuous on <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . The proof is completed.</p> <p>At the end of this section, let</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq28"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(30)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Define the height functions</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq29"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(31)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mtext&gt;: &lt;/mtext&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mtext&gt;: &lt;/mtext&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>In addition, we need to select some suitable open bounded sets. For any <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , let</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq30"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(32)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8745;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>From [[<reflink idref="bib19" id="ref18">19</reflink>]], we can conclude the lemma below.</p> <hd id="AN0145130973-12">Lemma 7.</hd> <p></p> <ulist> <item> (i) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are open relative to <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> <p></p> <item> (ii) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8834;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8834;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> <p></p> <item> (iii) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> if and only if <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> <p></p> <item> (iv) If <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , then <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#947;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> </ulist> <hd id="AN0145130973-13">3. Main Results</hd> <p></p> <hd id="AN0145130973-14">Theorem 8.</hd> <p>Assume that (<emph>F</emph><subs>0</subs>) holds. In addition, the function <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> satisfies the following assumption:</p> <p>(<emph>F</emph><subs>1</subs>) There exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq31"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(33)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Then, we have</p> <p></p> <ulist> <item> (i) If <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , then (<reflink idref="bib1" id="ref19">1</reflink>) has at least one partly positive solution <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , namely,</item> <p></p> <item> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq32"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(34)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </item> <p></p> <item> (ii) If <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , then (<reflink idref="bib1" id="ref20">1</reflink>) has at least one positive solution <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , which satisfies</item> <p></p> <item> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq33"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(35)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </item> </ulist> <hd id="AN0145130973-15">Proof.</hd> <p>For any <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , it is obvious that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq34"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(36)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Then, from (<emph>F</emph><subs>1</subs>) it follows that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq35"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(37)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>which implies that (a) of Lemma 1 holds.</p> <p>Let</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq36"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(38)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#936;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>From [[<reflink idref="bib21" id="ref21">21</reflink>]], we have that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq37"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(39)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;lim&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8594;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#936;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Then, there exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq38"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(40)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> satisfies</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq39"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(41)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> ; now we prove that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8800;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;and&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . On the contrary, if there exists a pair of <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , then from (iv) of Lemma 7, it follows that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq40"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(42)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Furthermore, for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq41"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(43)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>which contradicts with the statement (iii) of Lemma 7. So (b) holds.</p> <p>Since <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , from Lemma 7, we have <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8834;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8834;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Therefore, by Lemma 1, we can get that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> has at least one positive fixed-point <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;\&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Hence, the inequalities hold,</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq42"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(44)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>On the other hand, since <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <p></p> <ulist> <item> (i) Since</item> <p></p> <item> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq43"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(45)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </item> <p></p> </ulist> <p>• we have</p> <p></p> <ulist> <item> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq44"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(46)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </item> <p></p> <item> (ii) From Lemmas 3 and 4, we have</item> <p></p> <item> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq45"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(47)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </item> <p></p> <item> which implies that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></item> </ulist> <p>Therefore, (<reflink idref="bib1" id="ref22">1</reflink>) has one positive solution <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <hd id="AN0145130973-16">Theorem 9.</hd> <p>Assume that (<emph>F</emph><subs>0</subs>) holds. In addition, the function <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> satisfies the following assumptions:</p> <p>(<emph>F</emph><subs>2</subs>) There exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq46"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(48)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>(<emph>F</emph><subs>3</subs>) There exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq47"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(49)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>(<emph>F</emph><subs>4</subs>) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;lim&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8594;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , uniformly for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <p>Then, (<reflink idref="bib1" id="ref23">1</reflink>) has at least two positive solution <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , which satisfies</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq48"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(50)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <hd id="AN0145130973-17">Proof.</hd> <p>From (<emph>F</emph><subs>2</subs>) and Theorem 8, it follows that there exists a solution <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq49"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(51)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Now, we apply Lemma 1 to prove the existence of another solution <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <p>Since <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , then we can define the operator</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq50"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(52)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>For any <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , it is obvious that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq51"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(53)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Then, we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq52"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(54)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>which implies that (a) of Lemma 1 holds.</p> <p>Since <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;lim&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8594;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , uniformly for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , there exists a <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> such that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq53"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(55)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> satisfies</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq54"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(56)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Let <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , now we prove that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8800;&lt;/mo&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;and&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . On the contrary, if there exists a pair of <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8706;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;and&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;such&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;that&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , then from (iv) of Lemma 7, it follows that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq55"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(57)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;12&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Furthermore, we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq56"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(58)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="fraktur" fontstyle="italic"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;~&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#955;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#964;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8901;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>which contradicts with the statement (iii) of Lemma 7. So (b) holds.</p> <p>Therefore, from Lemma 1, we can get that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;~&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> has at least one positive fixed-point <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#937;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo stretchy="true"&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mo&gt;\&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Hence, the inequalities hold</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq57"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(59)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>On the other hand, since <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , we have <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> .</p> <p>Finally, since</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq58"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(60)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="&amp;#8214;" close="&amp;#8214;"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>(<reflink idref="bib1" id="ref24">1</reflink>) has at least two positive solutions.</p> <hd id="AN0145130973-18">4. Examples</hd> <p></p> <hd id="AN0145130973-19">Example 10.</hd> <p>Let us consider the following system:</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="EEq60"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(61)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfenced open="{" close=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable class="cases"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cos&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#960;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd columnalign="left"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8243;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8477;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#10230;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8477;&lt;/mi&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is continuous, and</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq59"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(62)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;cos&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#960;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi class="relop" /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#8477;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>It is obvious that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> holds. Via some computations, we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq60"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(63)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Choosing <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#952;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Then, we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq61"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(64)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Furthermore, we have</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq62"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(65)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sin&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;J&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>Choosing <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;max&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="{" close="}"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Then,</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq63"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(66)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>It is easy to get</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq64"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(67)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;mlabeledtr id="eq65"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(68)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;6&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#934;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8727;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;200&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;sinh&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;10&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>which implies that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> hold.</p> <p>Finally, it is obvious that</p> <p> <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mtable&gt;&lt;mlabeledtr id="eq66"&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mtext&gt;(69)&lt;/mtext&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;munder&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;lim&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8594;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/munder&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;u&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi class="cond" /&gt;&lt;mtext&gt;uniformly&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mtext&gt;for&lt;/mtext&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8712;&lt;/mo&gt;&lt;mfenced open="[" close="]"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mlabeledtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> </p> <p>So <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;mfenced open="(" close=")"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;4&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> holds.</p> <p>Therefore, by Theorem 9, (<reflink idref="bib61" id="ref25">61</reflink>) has two positive solutions.</p> <hd id="AN0145130973-20">Data Availability</hd> <p>The data used to support the findings of this study are available from the corresponding author upon request.</p> <hd id="AN0145130973-21">Conflicts of Interest</hd> <p>The authors declare that they have no competing interests.</p> <hd id="AN0145130973-22">Authors' Contributions</hd> <p>All the authors contributed equally and significantly in writing this article. All the authors read and approved the final manuscript.</p> <hd id="AN0145130973-23">Acknowledgments</hd> <p>The authors were supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities (B200202003), the Guizhou Provincial Science and Technology Fund (QKH-JICHU[2017], Grant no. 1408) and the Scientific Research Starting Foundation for Doctorate Research from Shandong Jiaotong University.</p> <ref id="AN0145130973-24"> <title> REFERENCES </title> <blist> <bibl id="bib1" idref="ref1" type="bt">1</bibl> <bibtext> Benguria R., Brezis H., Lieb E. H. The Thomas-Fermi-Von Weizsäcker theory of atoms and molecules. Communications in Mathematical Physics. 1981; 79(2): 167-180, 10.1007/BF01942059, 2-s2.0-0000217807</bibtext> </blist> <blist> <bibl id="bib2" type="bt">2</bibl> <bibtext> Lieb E. H. Thomas-Fermi and related theories of atoms and molecules. 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