A Sequential Student’s t-Based Robust Kalman Filter for Multi-GNSS PPP/INS Tightly Coupled Model in the Urban Environment

Bibliographic Details
Title:	A Sequential Student’s t-Based Robust Kalman Filter for Multi-GNSS PPP/INS Tightly Coupled Model in the Urban Environment
Authors:	Sixiang Cheng, Jianhua Cheng, Nan Zang, Zhetao Zhang, Sicheng Chen
Source:	Remote Sensing, Vol 14, Iss 22, p 5878 (2022)
Publisher Information:	MDPI AG, 2022.
Publication Year:	2022
Collection:	LCC:Science
Subject Terms:	PPP/INS tightly coupled, urban environment, student’s t distribution, robust Kalman filter, Science
More Details:	The proper stochastic model of a global navigation satellite system (GNSS) makes a significant difference on the precise point positioning (PPP)/inertial navigation system (INS) tightly coupled solutions. The empirical Gaussian stochastic model is easily biased by massive gross errors, deteriorating the positioning precisions, especially in the severe GNSS blockage urban environment. In this paper, the distributional characteristics of the gross-error-contaminated observation noise are analyzed by the epoch-differenced (ED) geometry-free (GF) model. The Student’s t distribution is used to express the heavy tails of the gross-error-contaminated observation noise. Consequently, a novel sequential Student’s t-based robust Kalman filter (SSTRKF) is put forward to adjust the GNSS stochastic model in the urban environment. The proposed method pre-weights all the observations with the a priori residual-derived robust factors. The chi-square test is adopted to distinguish the unreasonable variances. The proposed sequential Student’s t-based Kalman filter is conducted for the PPP/INS solutions instead of the standard Kalman filter (KF) when the null hypothesis of the chi-square test is rejected. The results of the road experiments with urban environment simulations reveal that the SSTRKF improves the horizontal and vertical positioning precisions by 57.5% and 62.0% on average compared with the robust Kalman filter (RKF).
Document Type:	article
File Description:	electronic resource
Language:	English
ISSN:	2072-4292
Relation:	https://www.mdpi.com/2072-4292/14/22/5878; https://doaj.org/toc/2072-4292
DOI:	10.3390/rs14225878
Access URL:	https://doaj.org/article/69777db6bc1f4babaa02e89469423dbe
Accession Number:	edsdoj.69777db6bc1f4babaa02e89469423dbe
Database:	Directory of Open Access Journals
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FullText	Links: – Type: pdflink Url: https://content.ebscohost.com/cds/retrieve?content=AQICAHjPtM4BHU3ZchRwgzYmadcigk49r9CVlbU7V5F6lgH7WwHe7I08T3ZL3E2_CCNW_715AAAA4jCB3wYJKoZIhvcNAQcGoIHRMIHOAgEAMIHIBgkqhkiG9w0BBwEwHgYJYIZIAWUDBAEuMBEEDIfpueRGRbT9YjiYSAIBEICBmvvR_pB-bu5GpUUrXwJXcfCLNfAJpisEi23Rllj6jh4sHUkhoYzGjWLs6JEQ6qH5RRzBpiHX1yeb_6xcEhQJWn2rd1Cb7I8z5n-tFl2UJ8WnZJLXBloLq3Hd3g4mDWpPFyM6SGrGYJuKAVOs6bqVirT4h1UAZHp3WJ6GSZrRmYkD17W3SutgT9bROxnxA3hyLhpv9QcL2qYAVj8= Text: Availability: 1 Value: <anid>AN0160465547;[b03x]15nov.22;2022Nov30.04:57;v2.2.500</anid> <title id="AN0160465547-1">A Sequential Student's t-Based Robust Kalman Filter for Multi-GNSS PPP/INS Tightly Coupled Model in the Urban Environment </title> <p>The proper stochastic model of a global navigation satellite system (GNSS) makes a significant difference on the precise point positioning (PPP)/inertial navigation system (INS) tightly coupled solutions. The empirical Gaussian stochastic model is easily biased by massive gross errors, deteriorating the positioning precisions, especially in the severe GNSS blockage urban environment. In this paper, the distributional characteristics of the gross-error-contaminated observation noise are analyzed by the epoch-differenced (ED) geometry-free (GF) model. The Student's t distribution is used to express the heavy tails of the gross-error-contaminated observation noise. Consequently, a novel sequential Student's t-based robust Kalman filter (SSTRKF) is put forward to adjust the GNSS stochastic model in the urban environment. The proposed method pre-weights all the observations with the a priori residual-derived robust factors. The chi-square test is adopted to distinguish the unreasonable variances. The proposed sequential Student's t-based Kalman filter is conducted for the PPP/INS solutions instead of the standard Kalman filter (KF) when the null hypothesis of the chi-square test is rejected. The results of the road experiments with urban environment simulations reveal that the SSTRKF improves the horizontal and vertical positioning precisions by 57.5% and 62.0% on average compared with the robust Kalman filter (RKF).</p> <p>Keywords: PPP/INS tightly coupled; urban environment; student's t distribution; robust Kalman filter</p> <hd id="AN0160465547-2">1. Introduction</hd> <p>Nowadays, GNSS is widely applied for vehicle navigation due to its high accuracy, high availability, and global coverage. Multi-GNSS PPP can achieve a high-accuracy kinematic positioning performance with a sole receiver, attributing to the good satellite geometry. However, high buildings, tunnels, and other typical urban environments can severely impact the observation quality, leading to the biased positioning solutions. The short-term well-performed INS is widely applied to assist environment-dependent PPP in the sophisticated urban environment; furthermore, the PPP/INS tightly coupled system can effectively improve the long-term precise navigation. In the urban environment, the line-of-sight (LOS) multipath effect and the non-line-of-sight (NLOS) reception are two common error sources impacting on the GNSS observation quality. The LOS multipath errors happen when the receiver antenna intercepts both the LOS and multipath satellite signal. This case is mainly attributed to a mixture of reflection and scattering echoes [[<reflink idref="bib1" id="ref1">1</reflink>]]. The LOS multipath errors can reach up to tens of meters in code and a quarter cycle in phase [[<reflink idref="bib2" id="ref2">2</reflink>]], which can be modelled by the observation noise variance changes [[<reflink idref="bib4" id="ref3">4</reflink>]]. In the NLOS case, an obstacle completely blocks the LOS satellite signal, but the signal still reaches the antenna mainly through reflection. The NLOS reception is a more serious problem in the urban environment, also leading to significant biases in both code and phase observations [[<reflink idref="bib1" id="ref4">1</reflink>]]. Reference [[<reflink idref="bib4" id="ref5">4</reflink>]] modelled the NLOS reception errors as the observation noise mean value jumps. Hence, due to the impacts of the LOS multipath and NLOS reception errors on the GNSS observations analyzed above, they should be properly handled for the PPP/INS solutions. With the booming GNSS applications in the urban environment, many studies have contributed to mitigating the LOS multipath and NLOS reception errors.</p> <p>The antenna and receiver modifications can reduce the LOS multipath errors, while these methods are invalid for tackling the NLOS reception [[<reflink idref="bib5" id="ref6">5</reflink>], [<reflink idref="bib7" id="ref7">7</reflink>]]. Surrounding information can assist in determining the NLOS observations, whereas the auxiliary devices (e.g., 3D LiDAR) and the a priori information (e.g., 3D city model) limit these methods [[<reflink idref="bib8" id="ref8">8</reflink>], [<reflink idref="bib10" id="ref9">10</reflink>]]. For a static receiver, the sidereal filtering was proposed based on the orbital period of satellites, improving the positioning precisions by 56% [[<reflink idref="bib11" id="ref10">11</reflink>]]. Generating the multipath stacking maps can also deal with the site-specific multipath errors, which can reduce the residual standard deviation by about 20% [[<reflink idref="bib12" id="ref11">12</reflink>]]. However, the static methods fail to aid the kinematic applications. Meanwhile, the variance jumps model of the LOS multipath errors and the mean value jumps model of the NLOS reception errors induce heavy tails in the Gaussian observation noise, leading to the KF losing the optimality [[<reflink idref="bib13" id="ref12">13</reflink>]]. Hence, many robust filtering methods were proposed for kinematic applications in the presence of the LOS multipath and NLOS reception errors. Reference [[<reflink idref="bib14" id="ref13">14</reflink>]] applied marginalized likelihood ratio test to correct the NLOS reception errors biased a priori residuals, improving the horizontal and vertical precisions by 41.2% and 60.0%, respectively. The Institute Of Geodesy And Geophysics (IGG-III) function depending on the observation residuals is applied to adjust the biased Gaussian stochastic model, improving the positioning precisions by 49.8% [[<reflink idref="bib15" id="ref14">15</reflink>]]. Reference [[<reflink idref="bib16" id="ref15">16</reflink>]] improved the GPS/BDS PPP/INS positioning solutions by 17.8%, 50.2%, and 22.4% in the north, east, and down components by the RKF. However, the severe GNSS blockages enlarge the covariance matrices of the prior residuals due to the bad satellite geometry, deteriorating the conventional RKF's validity to the gross errors. Reference [[<reflink idref="bib17" id="ref16">17</reflink>]] derived the robust Student's t-based Kalman filter by the variational Bayes (VB) method to adapt the heavy tail observation noise, whereas it highly depends on the pre-setting degree of freedom (DOF) parameter of Student's t distribution. Then, the Student's t-based Kalman filter with an adaptive DOF parameter was put forward to GNSS/INS and INS/ ultra-short baseline acoustic navigation system integrations [[<reflink idref="bib18" id="ref17">18</reflink>]]. However, almost all research of the existing Student's t-based methods simultaneously adjusts the stochastic model of all the observations, ignoring the satellite-specific observation noise stochastic characteristics in the urban environment. Therefore, a novel robust Kalman filter is indispensable for the multi-GNSS undifferenced and uncombined (UDUC) PPP/INS solutions in the urban environment.</p> <p>In this paper, we first analyze the code and phase observation distributional characteristics by the epoch-differenced geometry-free model. The observation noise can be described by the Gaussian distribution in the absence of the gross errors, while the heavy tails of the gross-error-contaminated observation noise prefer Student's t distribution. Although the Student's t distribution will degenerate to the Gaussian distribution as the DOF inclines to be infinite, it will be dramatical calculation burdens to adapt the DOF for every observation in PPP/INS tightly coupled estimation. Hence, we propose a SSTRKF to meet the needs of the kinematic application. We first determine the observation weights using the IGG-III scheme. Then, the chi-square test is introduced to validate the rationality of the observation weights derived by the IGG-III scheme. The unreasonable group is processed by the sequential Student's t Kalman filter, while others are still processed by the RKF. The numerical comparisons with real kinematic data validate the proposed method.</p> <p>The paper is organized as follows. In Section 2, we formulate the mathematical model of the multi-GNSS PPP/INS tightly coupled system. Then, the distributional characteristic analysis is conducted in Section 3. Moreover, the proposed sequential Student's t-based robust Kalman filter is detailed in Section 4. Subsequently, the road experiments with the urban environment simulations are conducted to validate the proposed method in Section 5. The concluding remarks are summarized in Section 6.</p> <hd id="AN0160465547-3">2. Multi-GNSS PPP/INS Tightly Coupled Model</hd> <p>In the following, the PPP/INS tightly coupled functional and stochastic model are described. We first derive the multi-GNSS UDUC PPP observation model, involving GPS, GLONASS, Galileo, and BDS. Then, the north-oriented INS state model is formulated.</p> <hd id="AN0160465547-4">2.1. Multi-GNSS PPP/INS Tightly Coupled Observation Model</hd> <p>After applying the known corrections of the precise satellite products, i.e., orbits, clock offsets, and satellite differential code biases, the linearized UDUC PPP observation equations of code <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and phase <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> for <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> available satellites read [[<reflink idref="bib20" id="ref18">20</reflink>]]</p> <p>(<reflink idref="bib1" id="ref19">1</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mstyle mathvariant="bold" mathsize="normal"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;/mstyle&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#931;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib2" id="ref20">2</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mstyle mathvariant="bold" mathsize="normal"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;/mstyle&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#931;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where the subscripts <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and the superscript <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> refer to epoch, receiver, and satellite, respectively. In the following, the superscripts <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> represent GPS, GLONASS, Galileo, and BDS, respectively. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the vector of the dual-frequency multi-GNSS code observations with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , where the subscript <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the frequency. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th frequency code observation vector of the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> satellites for system <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Note that the dual-frequency multi-GNSS UDUC phase observation vector <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> can be organized in a same structure as <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the design matrix to the earth-centered earth-fixed (ECEF) coordinate parameters <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> representing the ECEF frame ( <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame). <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the mapping function vector of the zenith tropospheric delay (ZTD) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . To eliminate the rank deficiency between the clock offset errors and the code hardware delays for four systems, two processing steps are introduced in new reparameterization: (i) The receiver clock error is first parameterized as <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , absorbing the ionospheric-free (IF) combination of the GPS code hardware delay. (ii) The inter-system code biases (ISCB) vector <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#931;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;GR&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;GE&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;GC&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is defined referring to the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;GR&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;GE&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#951;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;GC&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Note that GLONASS is a frequency division multiple access (FDMA) system, leading to the satellite-specific receiver code hardware delays absorbed into the clock errors <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is an <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -column vector with all elements being 1, while <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;I&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is an m-dimension identity matrix. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mstyle mathvariant="bold" mathsize="normal"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;/mstyle&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;blkdiag&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;I&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the ISCB coefficient matrix. The ionospheric delay coefficient matrix reads <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> with the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th corresponding cofactor matrix <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;blkdiag&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;I&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;I&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;I&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Here, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the ionospheric coefficient where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th frequency. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;diag&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the GLONASS ionospheric coefficient matrix. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the parameterized ionospheric delay vector, where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> absorbs the code hardware delay residuals. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the float ambiguity vector, where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> absorbs the code and phase hardware delays. The code and phase noise vectors are <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Moreover, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the Kronecker product.</p> <p>The PPP/INS tightly coupled state parameters is organized as <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8711;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;IF&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#931;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8711;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the attitude error vector, velocity and position error vectors under the navigation frame ( <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame) and the accelerometer and gyroscope bias vectors, respectively. The observation functional model can be constructed as follows</p> <p>(<reflink idref="bib3" id="ref21">3</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;GNSS&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;INS&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;INS&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;GNSS&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib4" id="ref22">4</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mstyle mathvariant="bold" mathsize="normal"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;/mstyle&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn mathvariant="bold"&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mstyle mathvariant="bold" mathsize="normal"&gt;&lt;mi&gt;&amp;#923;&lt;/mi&gt;&lt;/mstyle&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;g&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;U&lt;/mi&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;I&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the design matrix to <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Here, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#961;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;INS&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the INS-derived geometry distance vector. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;A&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the INS position error design matrix in the navigation frame ( <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame), where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the rotation matrix from the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame to the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame.</p> <p>The empirical multi-GNSS Gaussian stochastic model is constructed as <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8855;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;blkdiag&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;blkdiag&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;C&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> defining the elevation-dependent dispersion for the four systems [[<reflink idref="bib22" id="ref23">22</reflink>]]. Moreover, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;diag&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;diag&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#963;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> describe the code and phase precisions.</p> <hd id="AN0160465547-5">2.2. North-Oriented INS State Model</hd> <p>The PPP/INS tightly coupled state functional model is based on the north-oriented INS error function as follows [[<reflink idref="bib23" id="ref24">23</reflink>]]</p> <p>(<reflink idref="bib5" id="ref25">5</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#729;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#729;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#729;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;in&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;in&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;ib&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;ie&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;en&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;ie&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;en&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#215;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;pv&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;pp&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where the points upon <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#981;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denote the derivative; the superscript <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> represents the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame; and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the error. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;in&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;ie&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;ib&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame, and body frame ( <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame) angular rate relative to the inertial frame ( <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame), projected to the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;en&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> can be expressed in the same way above. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the specific force in the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> -frame. Moreover, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8711;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are contained in <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;f&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;&amp;#969;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;ib&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , respectively. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;pv&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;pp&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the coefficient matrices of <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> in the position error function, which read</p> <p>(<reflink idref="bib6" id="ref26">6</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;pv&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;sec&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#966;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;pp&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mi&gt;sec&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#966;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;tan&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#966;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mi&gt;sec&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;&amp;#966;&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;&amp;#966;&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the latitude and altitude, respectively. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the east and north velocity. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;M&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;R&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> represent the principal radii of curvature along the meridional and prime-vertical normal sections, respectively.</p> <hd id="AN0160465547-6">3. PPP/INS Observation Noise Distributional Characteristic Analysis</hd> <p>The PPP/INS observation noise distributional characteristic is analyzed as follows. First, the raw GNSS observation noise is extracted and analyzed by the ED GF model. Then, we analyze the distributional characteristics of the gross-error-contaminated observation noise.</p> <hd id="AN0160465547-7">3.1. Multi-GNSS Observation Noise Extraction</hd> <p>Two types of GF models are formulated to extract the phase and code observation noise [[<reflink idref="bib24" id="ref27">24</reflink>]]</p> <p>(<reflink idref="bib7" id="ref28">7</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;12&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;12&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib8" id="ref29">8</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;D&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;12&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;B&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;&amp;#948;&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;12&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;b&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denote the inter-frequency receiver and satellite phase hardware delay differences, respectively. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;D&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the frequency-specific receiver code hardware delay. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the unmodelled error residuals of <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , involving the LOS multipath errors, the NLOS reception errors, and the GF observation noise. Moreover, the phase hardware delays and unmodelled error residuals are evidently smaller than those of code [[<reflink idref="bib25" id="ref30">25</reflink>]]. Thus, Equation (<reflink idref="bib8" id="ref31">8</reflink>) can be simplified as</p> <p>(<reflink idref="bib9" id="ref32">9</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#956;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#953;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;D&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#949;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>All cycle slips are detected and repaired by applying the TurboEdit method in the post processing [[<reflink idref="bib26" id="ref33">26</reflink>]]. Hence, the hardware delays and the phase ambiguities can be eliminated in the epoch difference GF combinations <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , which read</p> <p>(<reflink idref="bib10" id="ref34">10</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib11" id="ref35">11</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where only the ionospheric delay residuals and the unmodelled error residuals are contained in <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Moreover, satellites with large a priori residuals (an empirical threshold 30 m) are rejected to guarantee the observations to be gross-error-free. Afterwards, 1Hz sampling static multi-GNSS data from the IGS MGEX GAMG station (7:00:00–7:59:59, 21 February 2022) is applied to analyze the observation noise. To eliminate the influence of the multipath errors as much as possible, the cut-off elevation is set to 35 <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mo&gt;&amp;#176;&lt;/mo&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Moreover, the ionospheric delay residuals in <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are ignored in this case, as the stability of ED ionospheric delays within high-rate (1Hz) data [[<reflink idref="bib28" id="ref36">28</reflink>]]. Eventually, the phase and code observation noise are extracted by <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Considering that the observation precisions are satellite-type-specific, the distributional characteristics of GPS, GLONASS, Galileo, BDS geostationary earth orbit (GEO), BDS inclined geosynchronous orbit (IGSO), and BDS medium earth orbit (MEO) observation noise are analyzed afterwards in Figure 1 and Figure 2. In the following, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;o&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the Gaussian probability density functions (PDF) with the mean vector <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;n&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and the covariance matrix <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;c&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;o&lt;/mi&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Moreover, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;var&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the variance derivation operation.</p> <p>Figure 1 indicates that the phase observation noise can be well fitted by the zero-mean-Gaussian distribution in absence of the gross errors. Moreover, the same conclusion is obtained for the code observation noise by analyzing Figure 2. Note that the Gaussian characteristic can also be extracted from <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , which is not further elaborated here. In this case, the Gaussian-based KF can properly handle the PPP/INS solutions. The distributional characteristics of the gross-error-contaminated observations are discussed in the next section.</p> <hd id="AN0160465547-8">3.2. Distributional Characteristic Analysis on Gross-Error-Contaminated Observation Noise</hd> <p>The gross error simulations were introduced into the raw observations. According to the research by reference [[<reflink idref="bib1" id="ref37">1</reflink>]], in a typical city urban environment (Shanghai–Lujiazui area), 95% of the LOS multipath error lifetime is shorter than 13.6 s when the rover velocity is 0~3 km/h. Hence, the 10 s LOS multipath errors were introduced into the G08 raw observations from epoch 1801 to 1810. The LOS multipath errors are modelled as the observation noise variance jumps [[<reflink idref="bib4" id="ref38">4</reflink>]] as</p> <p>(<reflink idref="bib12" id="ref39">12</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;15&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1800&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1810&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;L&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0.01&lt;/mn&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1800&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1810&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>Moreover, reference [[<reflink idref="bib1" id="ref40">1</reflink>]] reveals that most LOS multipath errors are less than 350m, while the observations with much too large multipath errors are always eliminated by the a priori residual test (e.g., an empirical threshold 30 m) in PPP data pre-processing. Hence, a typical multipath standard deviation 15 m is selected to simulate the LOS multipath errors, which can pass the priori residual test. The phase tracking errors can be up to a quarter cycle (maximum 0.064 m for GPS L5, Galileo E5a, and BDS B2a and minimum 0.047 m for the last satellite in GLONASS L1 among all the systems). Consequently, introducing the 0.01 m phase variance jumps into the phase observations is a reasonable choice.</p> <p>As for the NLOS reception errors, 95% of their lifetime is shorter than 68.2 s with 0~3 km/h rover velocity [[<reflink idref="bib1" id="ref41">1</reflink>]]. Hence, the NLOS reception errors can be modelled as the 60 s constant mean value jumps in the code and phase. However, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> cannot extract the NLOS reception errors modelled as constant mean value jumps which are eliminated by the epoch-differenced strategy. Hence, only the LOS multipath errors are simulated to accomplish the analysis. The <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> PDF of G08, Student's t distribution PDF ( <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;DOF&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;3&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> ), and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;var&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#916;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;F&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are shown in Figure 3.</p> <p>Figure 3 demonstrates that the distributional characteristics of the gross-error-contaminated observation noise can be divided into the Gaussian part and the heavy tail. When fitting the heavy tail, the Student's t distribution with a proper DOF parameter is preferred to the Gaussian distribution. However, the Gaussian part is obviously better fitted by the Gaussian distribution than the Student's t distribution. Hence, the Gaussian and Student's t combined processing strategy will outperform to any single distribution-based strategy. Eventually, if the NLOS reception errors were introduced, the true distribution would obtain a heavier tail due to the mean value jump model.</p> <hd id="AN0160465547-9">4. Sequential Student's t-Based Robust Kalman Filter</hd> <p>First, the robust Kalman filter and the Student's t based Kalman filter (STKF) are introduced briefly. Then, the SSTRKF is derived by incorporating the RKF and the sequential Student's t Kalman filter. Eventually, we provide the SSTRKF processing strategy.</p> <hd id="AN0160465547-10">4.1. Robust Kalman Filter Based on IGG-III Function</hd> <p>The RKF tunes the gross-error-contaminated observation noise in the standard Kalman filter by setting the robust factors as follows</p> <p>(<reflink idref="bib13" id="ref42">13</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;diag&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;...&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the new stochastic model with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> represents the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th element in the main diagonal of the raw observation stochastic model <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th observation robust factor, derived by the IGG-III function [[<reflink idref="bib30" id="ref43">30</reflink>]]</p> <p>(<reflink idref="bib14" id="ref44">14</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#60;&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8734;&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8805;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are presetting constants, chosen from 1.0 to 2.5 and from 3.5 to 8.0, respectively. The <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th standardized residual vector <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> reads</p> <p>(<reflink idref="bib15" id="ref45">15</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;msqrt&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msqrt&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th observation a priori residual and the corresponding variance, respectively. Note that <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th element in the main diagonal of the a priori residual covariance matrix <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;.&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> Here, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the covariance matrix of the one-step prediction <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . After redetermining the stochastic model of the observation system, the modified Kalman gain matrix can be written as</p> <p>(<reflink idref="bib16" id="ref46">16</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>The RKF state estimators and the corresponding covariance matrices will be obtained after updating the Kalman gain matrix. As shown in Equation (<reflink idref="bib14" id="ref47">14</reflink>), the robust factors vary with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> which is determined by <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> in Equation (<reflink idref="bib15" id="ref48">15</reflink>). Meanwhile <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is significantly susceptible to the worse PPP/INS positioning solutions with poor satellite geometry.</p> <hd id="AN0160465547-11">4.2. Student's t-Based Kalman Filter</hd> <p>The Student's t distribution is applied to fit the gross-error-contaminated observation noise. The STKF can be described as follows [[<reflink idref="bib18" id="ref49">18</reflink>]]</p> <p>(<reflink idref="bib17" id="ref50">17</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;\|&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib18" id="ref51">18</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;\|&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;St&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;St&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the Student's t PDF with mean vector <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , scale matrix <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , and DOF <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is an auxiliary random variable obeying Gamma distribution <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . The STKF adjusts the observation stochastic model mainly by <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Moreover, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is also modelled as Gamma distribution with shape parameters <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and rate parameter <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . The estimation problem can be solved by the VB method as follows [[<reflink idref="bib19" id="ref52">19</reflink>]]</p> <p>(<reflink idref="bib19" id="ref53">19</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;arg&lt;/mi&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;min&lt;/mi&gt;&lt;mtext /&gt;&lt;mi&gt;KLD&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;\|&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;\|&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;\|&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denote the approximate posterior and posterior PDF, respectively. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;KLD&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the Kullback–Leibler divergence. Equations (<reflink idref="bib17" id="ref54">17</reflink>) and (<reflink idref="bib18" id="ref55">18</reflink>) shows that the STKF simultaneously adjusts the stochastic model of every observation with solely one parameter <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , which can mis-weight the gross-error-free observations. Moreover, the gross-error-contaminated observation noise has diverse stochastic characteristics, requiring separately processing. It is noticed that the computation burden of the STKF is relatively heavy as Equation (<reflink idref="bib19" id="ref56">19</reflink>) is solved iteratively. Although the Student's t distribution degenerates to be Gaussian as the DOF tends to be infinite, conducting STKF with high-dimension matrices in every epoch can lead to disastrous computation burdens. Hence, the SSTRKF is proposed in the next section.</p> <hd id="AN0160465547-12">4.3. Sequential Student's t-Based Robust Kalman Filter</hd> <p>The proposed SSTRKF first pre-weights the observations by Equation (<reflink idref="bib14" id="ref57">14</reflink>), which can give the proper observation noise covariance matrix with ideal satellite geometry and gross-error-free observation noise. Hence, after being pre-weighted by the IGG-III function, we conduct the chi-square test satellite-by-satellite as follows</p> <p>(<reflink idref="bib20" id="ref58">20</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8804;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#62;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;v&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the a priori residual vector and the corresponding IGG-III-modified covariance matrix of the satellite <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , respectively. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;h&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the presetting chi-square threshold. Furthermore, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> represent the null and alternative hypothesis, respectively. If the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> case is accepted, the IGG-III-derived variances of the satellite <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are reasonable. In contrast, the observations are sorted into the unreasonable variance group when accepting <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . The reasonable variance group obeys the Gaussian assumption, whereas the unreasonable variance group is modelled by the Student's t distribution. Hence, we first process the reasonable group by Equation (<reflink idref="bib16" id="ref59">16</reflink>).</p> <p>The unreasonable group is sequentially processed due to the diverse stochastic characteristics of the gross-error-contaminated code and phase observations. Hence, the estimation problem of the unreasonable group can be presented as</p> <p>(<reflink idref="bib21" id="ref60">21</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;\|&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib22" id="ref61">22</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;\|&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;St&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mspace linebreak="newline" /&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8747;&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;S&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mfrac&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/mfrac&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;:&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mtd&gt;&lt;/mtr&gt;&lt;/mtable&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the observation vector with the first <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> observations in the unreasonable group. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the reasonable variance group observation vector. Note that the subscript <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> represents the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th observation in the unreasonable group. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th unreasonable observation variance, determined by Equation (<reflink idref="bib13" id="ref62">13</reflink>). Then, the estimation problem can be solved using the VB method as Equation (<reflink idref="bib19" id="ref63">19</reflink>).</p> <p>The Gamma PDF <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is chosen as the posterior PDF for the auxiliary random variable <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> in the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th iteration. Thus, the shape and rate parameter <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are derived as follows</p> <p>(<reflink idref="bib23" id="ref64">23</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib24" id="ref65">24</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0.5&lt;/mn&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;tr&lt;/mi&gt;&lt;mfenced close="]" open="["&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib25" id="ref66">25</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mn&gt;2&lt;/mn&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th iteration estimator and the corresponding covariance matrix, respectively. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;d&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the observation dimension. <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;tr&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the trace of a matrix. Furthermore, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> can be calculated through the expectation of the Gamma distribution as</p> <p>(<reflink idref="bib26" id="ref67">26</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>Another Gamma PDF <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;G&lt;/mi&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is exploited to be the posterior PDF of the DOF <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , resulting in</p> <p>(<reflink idref="bib27" id="ref68">27</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0.5&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib28" id="ref69">28</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0.5&lt;/mn&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0.5&lt;/mn&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;log&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;0.5&lt;/mn&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib29" id="ref70">29</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;log&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#968;&lt;/mi&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#945;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;log&lt;/mi&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;&amp;#946;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="sans-serif"&gt;&amp;#968;&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8943;&lt;/mo&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> denotes the digamma function. The expectation <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is obtained as</p> <p>(<reflink idref="bib30" id="ref71">30</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#977;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>Then, the posterior PDF of <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is modelled by the Gaussian PDF <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . Thus, we obtain the measurement update process, given as</p> <p>(<reflink idref="bib31" id="ref72">31</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;S&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;/&lt;/mo&gt;&lt;msup&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;E&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;&amp;#958;&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib32" id="ref73">32</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi mathvariant="normal"&gt;T&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#732;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mfenced&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib33" id="ref74">33</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;ST&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>(<reflink idref="bib34" id="ref75">34</reflink>) <ephtml> &lt;math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;mo&gt;&amp;#8722;&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;K&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;H&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;y&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml></p> <p>More derivation details refer to references [[<reflink idref="bib18" id="ref76">18</reflink>]] and [[<reflink idref="bib19" id="ref77">19</reflink>]]. To intuitively demonstrate the process of SSTRKF, the flow chart is shown in Figure 4. Moreover, we elaborate the processing steps in the kinematic applications: (i) After the time update, the IGG-III pre-weighted observation stochastic model is calculated by Equations (<reflink idref="bib12" id="ref78">12</reflink>)–(<reflink idref="bib14" id="ref79">14</reflink>). (ii) The chi-square test is applied to sort the available satellites into the reasonable and unreasonable group. (iii) The measurement update with the Kalman gain obtained by Equation (<reflink idref="bib16" id="ref80">16</reflink>) is conducted for the reasonable group. (iv) The estimator and the corresponding covariance matrix of the reasonable group are assigned to <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , respectively. (v) <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> are initialized by two presetting constants. (vi) Conduct the <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> th estimation by Equations (<reflink idref="bib23" id="ref81">23</reflink>)–(<reflink idref="bib34" id="ref82">34</reflink>). (vii) Assign <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> to <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msub&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;&amp;#175;&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , where <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is the maximum iteration number. (viii) If <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> is less than the unreasonable group observation number <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , return to (v) with <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;1&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> . (ix) If <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> , output <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mover accent="true"&gt;&lt;mi mathvariant="bold-italic"&gt;Q&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;^&lt;/mo&gt;&lt;/mover&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;N&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;t&lt;/mi&gt;&lt;msub&gt;&lt;mi&gt;e&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;m&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;a&lt;/mi&gt;&lt;mi&gt;x&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msub&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> as the estimator and the corresponding covariance matrix of the current epoch.</p> <hd id="AN0160465547-13">5. Experiments and Discussions</hd> <p>The road experiments were conducted with SPAN-CPT IMU and a Trimble receiver in March 2019, Xuzhou, China. The dataset is available in the open-access software Ginav [[<reflink idref="bib31" id="ref83">31</reflink>]]. The experiment duration is 1721 s with 100 Hz IMU data and 1 Hz GNSS data. Note that we applied the RTK/INS tightly coupled solutions as the reference to evaluate the navigation performance. The precise clock and orbit products were obtained from the MGEX data-processing center (<ulink href="http://www.igs.org/mgex/products,accessedon31October2021">http://www.igs.org/mgex/products,accessedon31October2021</ulink>), and the satellite and receiver antenna parameters were gained from igs14.atx. In real-time navigation, the real-time clock and orbit products can be used to support PPP/INS.</p> <p>Figure 5 is the 2D experiment trajectory, containing two laps on a same road. We select three segments of the road to conduct the six severe urban environment simulations, presented in red in Figure 5. To simulate the blockage urban environment as severe as possible, the cut-off elevation was set to 90° and 60° for the satellites with azimuth 285°~360° and 0°~285°, respectively. This environment can be always found in the urban environment, such as the narrow streets surrounded by high buildings. Moreover, the LOS multipath and the NLOS reception errors were introduced into an available satellite and the blocked satellite with the highest elevation, respectively. According to the analysis in Section 3.2, the lifetime and simulation model of the LOS multipath and the NLOS reception errors are summarized in Table 1. It is noticed that the elevation of the satellite contaminated by the NLOS reception errors is higher than 50°, which tends to lead the NLOS reception errors lower than 50 m [[<reflink idref="bib1" id="ref84">1</reflink>]]. Therefore, the value of the NLOS reception errors was set to 15 m with the same consideration as the LOS multipath errors in Section 3.2.</p> <p>The available satellite (AS) number of the multi-GNSS (GPS/GLONASS/Galileo/BDS), GPS (G), GLONASS (R), Galileo (E), BDS (C) is shown in Figure 6. During the experiment, the average AS number of multi-GNSS, G, R, E, and C are 18.9, 5.8, 2.5, 3.0, and 7.5, respectively. The first urban environment simulation was from 80 s to 125 s with 6, 1, 0, 1, and 4 average AS number for multi-GNSS, G, R, E, and C. During the 320 s~350 s, we conducted the second urban environment simulation, where the AS number drops to 4.3, 1, 0, 0, and 3.3 for multi-GNSS, G, R, E, and C on average, respectively. As for the third urban environment simulation during 540 s~560 s, the multi-GNSS, G, R, E, and C AS number maintain 4, 1, 0, 0, and 3, respectively. The fourth, fifth and sixth urban environment simulations were from 945 s to 1000 s, from 1227 s to 1260 s, and from 1445 s to 1465 s, respectively, where 4, 1, 0, 0, and 3 satellites for multi-GNSS, G, R, E, and C are available on average. Figure 6 indicates that the AS number reduces significantly during the urban environment simulations. Moreover, the shadow areas in Figure 6, Figure 7, Figure 8 and Figure 9 represent the urban environment simulations.</p> <p>To reveal the impacts of the LOS and NLOS multipath errors on the positioning solutions in the urban blockage environment, we first conducted three schemes with the KF, summarized in Table 2. Figure 7 depicts the positioning errors of the three schemes, where the Scheme 1 achieves the best precisions among the three schemes. When suffering the blockage environment, the positioning errors (blue line in Figure 7) increases due to the barren observation conditions. Moreover, the positioning errors diverge dramatically when the LOS multipath and NLOS reception errors are introduced into the observations, such as the red line in Figure 7. Therefore, the gross errors induced by the LOS multipath effect and NLOS reception are rather serious problems for the PPP/INS tightly coupled system, especially in the urban severe blockage environment.</p> <p>The chi-square test threshold was set to 13.277 with the significance level and the DOF being 1% and 4, respectively. Figure 8 gives the chi-square statistics during the road experiment. The chi-square statistics average 0.23 when neither the LOS multipath errors nor the NLOS reception errors are introduced. Moreover, only 15 in total 31,360 chi-square statistics exceed the chi-square threshold in this case, indicating that the IGG-III scheme can properly adjust the observation noise stochastic model in this case. On the contrary, the average chi-square statistics of the satellites impacted by the LOS multipath and NLOS reception errors are 41.6, 68.1, 89.3, 74.0, 52.8, and 72.0 for the six urban environment simulations, respectively. The chi-square statistics of the gross-error-contaminated satellites evidently exceed the chi-square threshold during the six urban environment simulations. Consequently, the IGG-III-based RKF fails to give proper variances for the gross-error-contaminated observations. Moreover, the SSTRKF avoids an unnecessary computation burden from processing every observation with the sequential Student's t-based Kalman filter by dividing the observations into the reasonable and unreasonable variance group.</p> <p>In the proposed SSTRKF, the sequential Student's t-based Kalman filter is activated to process the observations that cannot be appropriately weighted by the IGG-III model. According to Section 4.3, <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;p&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> and <ephtml> &lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;q&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;i&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mn&gt;0&lt;/mn&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;/semantics&gt;&lt;/math&gt; </ephtml> were initialized to 0.3 and 1 before processing every observation, respectively. The maximum iteration number of the SSTRKF was set to 10 [[<reflink idref="bib17" id="ref85">17</reflink>], [<reflink idref="bib19" id="ref86">19</reflink>]]. To explore the superiority of the proposed SSTRKF, the KF, the RKF, the SSTRKF, and the STKF were applied to the multi-GNSS PPP/INS tightly coupled system in the Scheme 3 setting.</p> <p>Figure 9 shows the KF, the RKF, the STKF, and the SSTRKF positioning errors during the road experiments. The STKF simultaneously tunes the observation noise covariance matrix with solely one factor, leading to the severely biased PPP stochastic model. Hence, the STKF errors diverge rapidly. It is evident that the positioning precisions are impacted by the urban environment simulation. The root mean square (RMS) positioning errors during the six urban environment simulations are collected in Figure 10. Compared with the KF, the proposed SSTRKF improves the horizontal and vertical precisions by 65.7% and 72.1% on average, respectively. Moreover, the SSTRKF achieves 57.5% and 62.0% average precision improvement relative to the RKF in the horizontal and vertical components, respectively. During simulation 2, although the RKF ameliorates the positioning precisions compared with the KF, the RKF positioning errors still diverge to 1.78m in maximum. As for the SSTRKF, the positioning precisions are improved by 29.4% and 32.6% relative to the RKF in the horizontal and vertical components during simulation 2. Moreover, the RKF impairs the positioning precisions compared with the KF during simulation 3, indicating that the RKF fails to derive proper observation variances with the IGG-III function. In contrast, during simulation 3, the SSTRKF suppresses the error divergence during simulation 3, reducing the horizontal and vertical positioning errors by 84.9% and 71.0% compared with the RKF and by 83.9% and 68.6% compared with the KF, respectively. In simulation 4, compared with RKF and KF, the horizontal and vertical PPP/INS precisions are improved by 80.3% and 95.3% and by 87.5% and 96.3% after applying the SSTRKF. As for simulation 5, the horizontal and vertical positioning errors of RKF and KF are reduced by 72.6% and 81.8% and by 54.2% and 76.7% with the SSTRKF. During simulation 6, the SSTRKF improves by 78.5% and 61.5% the horizontal and vertical positioning precisions compared with the RKF. As for KF, 89.3% and 76.7% horizontal and vertical precision improvement are achieved by conducting the SSRTKF. Moreover, the SSTRKF improves the positioning solutions slightly in the simulation 1. As shown in Figure 6, the observation condition of simulation 1 is better than the other five simulations, contributing to well-independent positioning. Hence, all three schemes can properly identify and handle the gross-error-contaminated satellites. According to the analysis above, the proposed SSTRKF evidently outperforms to the KF and RKF during the urban environment simulations, especially in the severe blockage environment.</p> <hd id="AN0160465547-14">6. Conclusions</hd> <p>The standard Kalman filter is optimal for PPP/INS tightly coupled only when the observation noise obeys the Gaussian assumption. However, the LOS multipath and NLOS reception gross errors in the urban environment lead to heavy tails in the observation noise. In the urban severe blockage environment, the heavy tails cannot be properly fitted by the IGG-III function. Hence, in this paper, we apply the Student's t distribution to fit the heavy tails of the gross-error-contaminated observation noise. Moreover, the SSTRKF is proposed by sequentially conducting the RKF and the sequential Student's t-based Kalman filter. The research findings and conclusions are summarized as follows.</p> <p></p> <ulist> <item> The GNSS phase and code observation noise obey the Gaussian assumption in the absence of the LOS multipath and NLOS reception errors. Moreover, the Student's t distribution can fit the heavy tails of the gross-error-contaminated observation noise.</item> <p></p> <item> The proposed SSTRKF can adjust the IGG-III function-derived unreasonable variances through the chi-square test and the sequential Student's t-based Kalman filter, respectively.</item> <p></p> <item> The numerical comparisons have validated our proposed SSTRKF for the gross-error-contaminated observations. Compared with the RKF, the proposed SSTRKF improves the horizontal and vertical positioning precisions by 57.5% and 62.0% on average during the urban environment simulations. Consequently, the proposed SSTRKF is superior to the KF and the RKF in the urban environment.</item> </ulist> <hd id="AN0160465547-15">Figures and Tables</hd> <p>Graph: Figure 1 ΔGF1,k,r PDF and N0,varΔGF1,k,r of (a) GPS, (b) GLONASS, (c) Galileo, (d) BDS GEO, (e) BDS IGSO, and (f) BDS MEO.</p> <p>Graph: Figure 2 ΔGF2,k,r,1 PDF and N0,varΔGF2,k,r,1 of (a) GPS, (b) GLONASS, (c) Galileo, (d) BDS GEO, (e) BDS IGSO, and (f) BDS MEO.</p> <p>Graph: Figure 3 ΔGF1,k,rs PDF of G08, N0,varΔGF1,k,rs , and Student's t PDF (DOF=3).</p> <p>Graph: Figure 4 Flow chart of the SSTRKF.</p> <p>Graph: Figure 5 Two-dimensional experiment trajectory.</p> <p>Graph: Figure 6 The AS number during the road experiments.</p> <p>Graph: Figure 7 Impacts of the LOS multipath and NLOS reception errors on the positioning solutions.</p> <p>Graph: Figure 8 Chi-square statistics during the road experiment.</p> <p>Graph: Figure 9 Positioning errors of the three filters.</p> <p>Graph: Figure 10 RMS positioning errors of the three schemes during the six simulations.</p> <p>Table 1 The LOS multipath and the NLOS reception error simulation settings.</p> <p> <ephtml> &lt;table&gt;&lt;thead&gt;&lt;tr&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;Simulation Number&lt;/th&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin" /&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;1&lt;/th&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;2&lt;/th&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;3&lt;/th&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;4&lt;/th&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;5&lt;/th&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;6&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/thead&gt;&lt;tbody&gt;&lt;tr&gt;&lt;td rowspan="2" align="center" valign="middle"&gt;LOS multipath error&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;Lifetime&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;10 s&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;10 s&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;0 s&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;0 s&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;20 s&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;10 s&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;Model&lt;/td&gt;&lt;td colspan="6" align="center" valign="middle"&gt;&lt;p&gt;&lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics xmlns=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced close="" open="{"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" 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style="border-bottom:solid thin"&gt;&lt;p&gt;&lt;math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"&gt;&lt;semantics xmlns=""&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mfenced close="" open="{"&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mtable equalrows="true" equalcolumns="true"&gt;&lt;mtr&gt;&lt;mtd&gt;&lt;mrow&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;=&lt;/mo&gt;&lt;msubsup&gt;&lt;mi&gt;P&lt;/mi&gt;&lt;mrow&gt;&lt;mi&gt;k&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;r&lt;/mi&gt;&lt;mo&gt;,&lt;/mo&gt;&lt;mi&gt;j&lt;/mi&gt;&lt;/mrow&gt;&lt;mi&gt;s&lt;/mi&gt;&lt;/msubsup&gt;&lt;mo&gt;+&lt;/mo&gt;&lt;mn&gt;15&lt;/mn&gt;&lt;mi 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style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin" /&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;The LOS Multipath and NLOS Reception Errors&lt;/th&gt;&lt;th align="center" style="border-top:solid thin;border-bottom:solid thin"&gt;Blockage Environment&lt;/th&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/thead&gt;&lt;tbody&gt;&lt;tr&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;Scheme 1&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;No&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;No&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;Scheme 2&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;No&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle"&gt;Yes&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;tr&gt;&lt;td align="center" valign="middle" style="border-bottom:solid thin"&gt;Scheme 3&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle" style="border-bottom:solid thin"&gt;Yes&lt;/td&gt;&lt;td align="center" valign="middle" style="border-bottom:solid thin"&gt;Yes&lt;/td&gt;&lt;/tr&gt;&lt;/tbody&gt;&lt;/table&gt; </ephtml> </p> <hd id="AN0160465547-16">Author Contributions</hd> <p>Conceptualization, S.C. (Sixiang Cheng); Methodology, S.C. (Sixiang Cheng); Software, S.C. (Sixiang Cheng); Validation, S.C. (Sixiang Cheng); Formal analysis, Z.Z.; Investigation, S.C. (Sicheng Chen); Resources, J.C.; Writing—original draft, S.C. (Sixiang Cheng); Writing—review &amp; editing, N.Z.; Visualization, N.Z.; Supervision, N.Z.; Project administration, J.C.; Funding acquisition, J.C. and N.Z. All authors have read and agreed to the published version of the manuscript.</p> <hd id="AN0160465547-17">Data Availability Statement</hd> <p>The experiment data is available in the open access software GINav in the GPS Toolbox website at: https://geodesy.noaa.gov/gps-toolbox/GINav.shtml (accessed on 31 October 2021).</p> <hd id="AN0160465547-18">Conflicts of Interest</hd> <p>The authors declare no conflict of interest.</p> <hd id="AN0160465547-19">Acknowledgments</hd> <p>The first author would like to thank Kai Chen, Guobin Chang, and Chao Chen from the China University of Mining and Technology for providing the open access GNSS/INS software GINav with the road test data. We sincerely thank the IGS MGEX campaign for providing multi-GNSS products and the anonymous reviewers for their constructive comments.</p> <ref id="AN0160465547-20"> <title> Footnotes </title> <blist> <bibl id="bib1" idref="ref1" type="bt">1</bibl> <bibtext> Publisher's Note: MDPI stays neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.</bibtext> </blist> </ref> <ref id="AN0160465547-21"> <title> References </title> <blist> <bibtext> Chen X., Yu J.M., Yu W., Truong T.K. GPS L1CA/BDS B1I Multipath Channel Measurements and Modeling for Dynamic Land Vehicle in Shanghai Dense Urban Area. IEEE Trans. Veh. Technol. 2020; 69: 14247-14263. 10.1109/TVT.2020.3038646</bibtext> </blist> <blist> <bibl id="bib2" idref="ref2" type="bt">2</bibl> <bibtext> Leick A., Rapoport L., Tatarnikov D.. 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Header	DbId: edsdoj DbLabel: Directory of Open Access Journals An: edsdoj.69777db6bc1f4babaa02e89469423dbe RelevancyScore: 928 AccessLevel: 3 PubType: Academic Journal PubTypeId: academicJournal PreciseRelevancyScore: 928.480224609375
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Items	– Name: Title Label: Title Group: Ti Data: A Sequential Student’s t-Based Robust Kalman Filter for Multi-GNSS PPP/INS Tightly Coupled Model in the Urban Environment – Name: Author Label: Authors Group: Au Data: <searchLink fieldCode="AR" term="%22Sixiang+Cheng%22">Sixiang Cheng</searchLink><br /><searchLink fieldCode="AR" term="%22Jianhua+Cheng%22">Jianhua Cheng</searchLink><br /><searchLink fieldCode="AR" term="%22Nan+Zang%22">Nan Zang</searchLink><br /><searchLink fieldCode="AR" term="%22Zhetao+Zhang%22">Zhetao Zhang</searchLink><br /><searchLink fieldCode="AR" term="%22Sicheng+Chen%22">Sicheng Chen</searchLink> – Name: TitleSource Label: Source Group: Src Data: Remote Sensing, Vol 14, Iss 22, p 5878 (2022) – Name: Publisher Label: Publisher Information Group: PubInfo Data: MDPI AG, 2022. – Name: DatePubCY Label: Publication Year Group: Date Data: 2022 – Name: Subset Label: Collection Group: HoldingsInfo Data: LCC:Science – Name: Subject Label: Subject Terms Group: Su Data: <searchLink fieldCode="DE" term="%22PPP%2FINS+tightly+coupled%22">PPP/INS tightly coupled</searchLink><br /><searchLink fieldCode="DE" term="%22urban+environment%22">urban environment</searchLink><br /><searchLink fieldCode="DE" term="%22student%27s+t+distribution%22">student’s t distribution</searchLink><br /><searchLink fieldCode="DE" term="%22robust+Kalman+filter%22">robust Kalman filter</searchLink><br /><searchLink fieldCode="DE" term="%22Science%22">Science</searchLink> – Name: Abstract Label: Description Group: Ab Data: The proper stochastic model of a global navigation satellite system (GNSS) makes a significant difference on the precise point positioning (PPP)/inertial navigation system (INS) tightly coupled solutions. The empirical Gaussian stochastic model is easily biased by massive gross errors, deteriorating the positioning precisions, especially in the severe GNSS blockage urban environment. In this paper, the distributional characteristics of the gross-error-contaminated observation noise are analyzed by the epoch-differenced (ED) geometry-free (GF) model. The Student’s t distribution is used to express the heavy tails of the gross-error-contaminated observation noise. Consequently, a novel sequential Student’s t-based robust Kalman filter (SSTRKF) is put forward to adjust the GNSS stochastic model in the urban environment. The proposed method pre-weights all the observations with the a priori residual-derived robust factors. The chi-square test is adopted to distinguish the unreasonable variances. The proposed sequential Student’s t-based Kalman filter is conducted for the PPP/INS solutions instead of the standard Kalman filter (KF) when the null hypothesis of the chi-square test is rejected. The results of the road experiments with urban environment simulations reveal that the SSTRKF improves the horizontal and vertical positioning precisions by 57.5% and 62.0% on average compared with the robust Kalman filter (RKF). – Name: TypeDocument Label: Document Type Group: TypDoc Data: article – Name: Format Label: File Description Group: SrcInfo Data: electronic resource – Name: Language Label: Language Group: Lang Data: English – Name: ISSN Label: ISSN Group: ISSN Data: 2072-4292 – Name: NoteTitleSource Label: Relation Group: SrcInfo Data: https://www.mdpi.com/2072-4292/14/22/5878; https://doaj.org/toc/2072-4292 – Name: DOI Label: DOI Group: ID Data: 10.3390/rs14225878 – Name: URL Label: Access URL Group: URL Data: <link linkTarget="URL" linkTerm="https://doaj.org/article/69777db6bc1f4babaa02e89469423dbe" linkWindow="_blank">https://doaj.org/article/69777db6bc1f4babaa02e89469423dbe</link> – Name: AN Label: Accession Number Group: ID Data: edsdoj.69777db6bc1f4babaa02e89469423dbe
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